[off]Краткая справка: ЗЕНОН из Элеи (ок. 490-430 до н. э.), древнегреческий философ, представитель элейской школы; Аристотель считал его основателем диалектики как искусства постижения истины посредством спора или истолкования противоположных мнений. Известен знаменитыми парадоксами (апориями) — «Ахиллес», «Стрела» и др., обосновывающими невозможность движения, множественности вещей и т. п. АПОРИЯ (греч. aporia, букв. — безвыходность), трудная или неразрешимая проблема, связанная с возникновением противоречия, с наличием аргумента против очевидного, общепринятого. [/off]
Ахилл и черепаха. Ахилл — герой и, как бы мы сейчас сказали, выдающийся спортсмен. Черепаха, как известно, одно из самых медлительных животных. Тем не менее Зенон утверждал, что Ахилл проиграет черепахе состязание в беге. Примем следующие условия. Пусть Ахилла отделяет от финиша расстояние 1, а черепаху — ½. Двигаться Ахилл и черепаха начинают одновременно. Пусть для определенности Ахилл бежит в 2 раза быстрее черепахи. Тогда, пробежав расстояние ½, Ахилл обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок ¼ и по-прежнему находится впереди героя. Далее картина повторяется: пробежав четвертую часть пути, Ахилл увидит черепаху на одной восьмой части пути впереди себя и т. д. Следовательно, всякий раз, когда Ахилл преодолевает отделяющее его от черепахи расстояние, последняя успевает уползти от него и по-прежнему остается впереди. Таким образом, Ахилл никогда не догонит черепаху. Начав движение, Ахилл никогда не сможет его завершить.
Дихотомия. Рассуждение очень простое. Для того, чтобы пройти весь путь, движущееся тело сначала должно пройти половину пути, но чтобы преодолеть эту половину, надо пройти половину половины и т. д. до бесконечности.Следовательно, заключает Зенон, движение не может начаться. А поскольку движение не только не может закончиться, но и не может начаться, движения нет.
Стрела. Вот летит стрела, в каждый момент ее можно где-то застигнуть, там она в это мгновенье покоится, откуда же берется движение? Значит, движение - череда состояний покоя? Не абсурд ли это?
Ристалище Если смотреть со стороны, то два тела движутся друг к другу с одинаковой скоростью, и они встретятся на половине пути через определенный промежуток времени; если же смотреть с точки зрения одного из тел, то оно покоится, а другое тело движется с той же скоростью, и они встретятся через промежуток времени, вдвое больший; следовательно, движение будет разным в зависимости от точки зрения на него, то есть само по себе оно вовсе не есть движение.
В данном случае имеем частность три ряда лошадей - один стоит, два других движутся паралельно по направлению друг к другу. Для наглядности относительности движения - первая лошадь из второго ряда встречается с каждой из первого и лишь с 2 и 4 из третьего ряда
PS: Предвосхищая утверждения и обвинения сразу скажу - да я знаю что эти парадоксы разрешимы, более того спецом не даю никакой ссылки на вопрос, ибо инет полнится трактовками, решениями и мнениями относительно этого вопроса... со своей стороны прошу народ удержаться от кидания ссылок на интернет ресурсы и надменного цитирования тех же источников... Высказывайтесь от своего имени и выражайте свою точку зрения
PS2: Если есть незаумные, удобоваримые парадоксы - милости прошу
YaSha,
Давай чтоб получился спор я становлюсь на сторону противников.
Итак когда Аххилес пройдет свою половину пути, черепаха не пройдет свою половину, поскольку движется с меньшей скоростью. Она преодолеет какое-то расстояние, но не половину. А значит рано или поздно, на какие бы дискретные промежутки мы не разбивали Аххил ее догонит. Затем сварит, съест и сытый побежит дальше.
Папан,
подоплёка возникновения этой темы проста, как три копейки... рассуждая по поводу безконечных величин в теме про 0,(9) вспомнилось про апории Зенона... Nuclear посоветовал замутить темку, я согласился ибо парадоксы Зенона это первый акцент древнего мира по поводу безконечности и безконечных величин...
Некоторые парадоксы рождены неправильной формулировкой, другие недостатком знаний... но многие так и остаются за пределом нашего логического понимания...
Итак, я предлагаю делиться парадоксами и обсуждать их...
Для человека, который использует голову по назначению, нет вопроса, догонит ли Ахилл черепаху или нет. Выйдите хоть на улицу и спросите: догонит Ахилл черепаху? Любой школьник скажет, что догонит. Потому что Ахилл бегает быстрее. А вот пошаговое решение, предложенное Зеноном до этого ответа никогда не доберется. Почему? Просто потому, что метод Зенона на этой задаче дает сбой. Ну не подходит он для решения - вот и все. В чем тут парадокс? Никакого парадокса. Просто ошибка Зенона, который из неудачи своего метода вдруг делает совершенно ошибочный вывод - "таким образом, Ахилл никогда не догонит черепаху." Откуда он это взял - история умалчивает.
Льюис Кэрролл "Двухчастная инвенция, или Что Черепаха сказала Ахиллу?"
Ахилл догнал черепаху и с удовольствием устроился у нее на спине.
- Итак, наше состязание окончено? - спросила Черепаха - Вам все-таки удалось преодолеть всю дистанцию, хотя она и состояла из бесконечной последовательности отрезков, и достичь финиша? А ведь, по правде говоря, я думала, будто какой-то мудрец доказал, что сделать это нельзя.
- Почему нельзя? -возразил Ахилл. - Еще как можно! Да что можно - уже сделано! Решено мимоходом. Видите ли, длина отрезков неограниченно убывала и поэтому...
. - А если бы длина отрезков неограниченно возрастала? - перебила его Черепаха, - Что тогда?
- Тогда бы я не сидел там, где я сижу, - скромно ответствовал Ахилл - а вы к этому времени уже успели бы несколько раз обойти вокруг земного шара.
- Вы мне льстите, то есть, я хочу сказать, вы мне мстите, - заметила Черепаха. - Я почти расплющена: вес-то у вас немалый. В чем, в чем, а в этом никакой ошибки нет. Если позволите, я лучше расскажу вам о состязании на другую дистанцию.
Большинство людей ошибочно полагают, будто в этом состязании их отделяют от финиша лишь два-три шага. В действительности же, чтобы добраться до финиша, необходимо преодолеть бесконечно много этапов, и каждый последующий этап длиннее предыдущего.
- С превеликим удовольствием! - с жаром воскликнул греческий воин, доставая из шлема огромный блокнот и карандаш (в те далекие времена карманы были лишь у очень немногих греческих воинов) - Я весь внимание! И пожалуйста, говорите помедленнее: ведь стенографию еще не изобрели!
- О первая аксиома Евклида! - мечтательно промолвила Черепаха, - что может быть прекраснее тебя?
И добавила, обращаясь к Ахиллу:
- Вы любите "Начала" Евклида?
- Безумно! Вряд ли можно сильнее восхищаться трактатом, который не выйдет в свет в течении еще нескольких столетий!
- Прекрасно! Мы воспользуемся рассуждением, содержащимся в первой аксиоме. Нам понадобятся лишь два шага и выведенные из них заключения. Для удобства последующих ссылок обозначим суждения А, В, и Z. Итак будьте любезны записать в свой блокнот следующее:
(А) Равные одному и тому же равны между собой.
(В) Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.
(Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.
Надеюсь, читатели и почитатели Евклида согласятся, что заключение Z логически следует из посылок А и В и всякий, кто сочтет истинными посылки А и В, должен будет признать истинным и заключение Z . Не так ли?
- Несомненно! С вашим утверждением согласится любой школьник младшего класса, - разумеется, не раньше, чем будут изобретены школы, а для этого придется подождать какие-нибудь две тысячи лет.
- А что, если какой-нибудь читатель не признает посылки А и В истинными? Сможет ли он тем не менее считать заключение Z истинным?
- Ну что же, найтись такой читатель вполне может. Рассуждать он станет примерно так: "я считаю истинным условное суждение "если А и В истинны, то Z истинно", но не считаю истинными суждения А и В". Такой читатель поступит мудро, если оставит Евклида и займется футболом.
- А не найдется ли другой читатель, утверждающий, что он признает истинность суждений А и В, но не считает истинным условное суждение?
- Разумеется, может. Ему также лучше всего было бы заняться футболом.
- И ни один из этих читателей пока не должен считать заключение Z истинным в силу логической необходимости? - продолжала Черепаха.
- Пока не должен, - подтвердил Ахилл.
- Тогда я попрошу вас рассматривать меня как представителя второй категории читателей и с помощью логических доводов заставить меня признать истинность заключения Z .
- Черепаха, играющая в футбол... - начал было Ахилл, но черепаха поспешно прервала его: - ... была бы, конечно, необычным зрелищем. Не будем уклоняться от главного. Сначала истинность заключения Z, потом футбол!
- Итак, если я правильно понял, мне вменяется в обязанность заставить вас признать истинность суждения Z, - задумчиво проговорил Ахилл. - занимаемая вами позиция сводится к следующему. Вы признаете истинность суждений А и В, но не признаете истинность условного суждения...
- Нам будет удобнее разговаривать, если мы обозначим условное суждение С, - предложила Черепаха. - Хорошо, - согласился Ахилл.
- Итак, вы не признаете истинность суждения С . "Если А и В истинны, то Z должно быть истинным".
- Такова моя позиция в настоящее время, - подтвердила Черепаха.
- Тогда я вынужден просить вас признать истинность С.
- Я так и сделаю, - сказала Черепаха, - как только вы запишите суждение С в свой блокнот. В нем уже есть какие-нибудь записи?
- Всего лишь несколько заметок, - ответил Ахилл , лихорадочно перелистывая страницы, - о различных памятных событиях...о битвах, в которых я отличился.
- Я вижу множество чистых страниц! - радостно воскликнула Черепаха. - Они нам понадобятся все до единой! (Ахилл содрогнулся от ужаса. ) Запишите, пожалуйста:
(А) Равные одному и тому же равны между собой.
(В) Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.
(С) Если А и В истинны, то Z должно быть истинным.
(Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.
- Последнее суждение вам следовало бы обозначить буквой D, а не Z, - сказал Ахилл. - Оно идет непосредственно за тремя первыми суждениями. Если вы считаете истинными суждения А. В. и С, то вам не остается ничего другого, как признать истинность суждения.
- Почему вы считаете, что я непременно должна признать истинность суждения Z?
- Потому, что оно логически следует из А, В и С. Если А, В и С истинны, то Z должно быть истинным. Надеюсь , против этого вы не станете возражать?
- Если А, В и С истинны, то Z должно быть истинным, - задумчиво повторила Черепаха. - А ведь это - новое условное суждение! И если я не убеждена в его истинности, то могу считать истинными А, В и С, но по-прежнему не признавать истинным Z. Правильно?
- Правильно, - подтвердил герой, - хотя я должен сказать, что этакое упрямство выглядит очень странным. Однако поскольку и такое возможно, я вынужден просить вас признать истинность еще одного условного суждения. - С удовольствием! Я охотно признаю истинность этого суждения, как только вы запишите его в свой блокнот. Обозначим его D.
Итак, D. " Если А, В и С истинны, то Z должно быть истинным". Записали?
- Записал! - радостно воскликнул Ахилл, и карандаш его быстро забегал по бумаге. - Наконец мы подошли к финишу нашего логического состязания. Уж теперь-то, признав истинность суждения А, В, С и D, вы конечно, признаете истинность заключения Z!
- Разве это так уж необходимо? - с невинным видом спросила Черепаха. - Попробуем разобраться. Я признаю истинность суждений А, В, С и D. Но что, если я по-прежнему не признаю истинность заключения Z?
- Тогда Логика возьмет вас за горло и вынудит сделать это! - торжествующе ответил Ахилл. - Логика скажет вам: "у вас не осталось другого выхода. После того, как вы признали истинность суждений А, В, С и D, вы должны признать истинность заключения Z!" Итак вы видите, иного выхода нет.
- То что мне сказала Логика, следовало бы записать, - заметила Черепаха. - Внесите, пожалуйста, в свой блокнот условное суждение, которое мы обозначим Е:
Е. "Если А, В, С и D истинны, то Z должно быть истинным".
До тех пор, пока я не соглашусь признать истинность суждения Е, у меня нет необходимости признавать истинность суждения Z, поэтому суждение Е нам просто необходимо. Вы согласны?
- Согласен, - ответил Ахилл с оттенком печали в голосе.
В этот момент неотложные дела в банке вынудили рассказчика оставить счастливую пару. Лишь через несколько месяцев ему довелось снова проходить мимо того места, где беседовали Ахилл и Черепаха. Ахилл по-прежнему сидел на спине у многотерпеливой Черепахи и что-то писал в почти заполненном блокноте. Приблизившись, рассказчик услышал, как Черепаха сказала:
- Записали последнее условное суждение? Если я не сбилась со счета, оно должно быть тысяча первым. Осталось еще несколько миллионов. Я хочу попросить вас о личном одолжении. Вы не будете возражать, если я прочту вам короткие стишки собственного сочинения? В качестве смягчающего обстоятельства я прошу иметь в виду те споры, которые вызовет среди логиков ХIX века наша беседа.
- Читайте что угодно! - с отчаянием воскликнул несчастный воин, закрывая лицо руками. И Черепаха продекламировала:
Ахиллесову пяту
Указуют все не ту.
Череп - ах! - трещит от дум:
У Ахилла хилый ум!
Эректус писал(а):orto, да, вывод Зенон сделал неправильный. Они (др.греки) же не учили пределы в школе...
Дело не в том, кто что учил. Вот Архимед тоже в школе пределы не учил, а обьем пирамиды нормально посчитал с помощью пределов. Дело в том, что Зенон вместо того, чтобы подумать, головы людям морочил. Короче говоря, никакие это не парадоксы. Просто парень над людьми издевался.
К сожалению запостил Кэрролла прежде чем прочёл это... что могу сказать существенно дополняет и затрагивает многие вопросы поднятые на этом форуме...
orto,
не нервничай, вот тебе парадокс - Зенон, по твоему выражению и издевается и не думает... Вот другой парадокс - Зенон жил ок. 2500 лет назад, первым кто узрел недостатки в его измышлениях был Аристотель... и всё это время над как ты выразился "издевательствами" Зенона копошатся мыслители... и многие утверждают что даже решённый математически и релятивистски он себя не исчерпал
Я когда рассматривал вопрос о субъективности пространства и времени тоже пришёл к выводу что движения нет... но это ведь не мешает мне считать, что мои пальцы, набирающие данный текст на клавиатуре, движутся...
Эректус,
Издевается? ну-ну...
Любой парадокс, даже тот который является таковым по ошибке, указывает на брешь в фундаменте науки, которая позволяет возникать этим парадоксам...
Важность апорий Зенона как раз в том что его выводы противоречат здравому смыслу и заставляют работать наш мозг...
Когда Зенон "доказал" что движение невозможно ему с успехом противостоял Диоген, но просто пару раз прошёлся перед Зеноном и толпой тем самым "доказав" что движение есть... но на практике апории будоражат научную и околонаучную общественность издавна и по сей день...
Папан, не суди строго - по-моему это вопрос скорее всего риторический...
Зенон будучи человеком неглупым отлично понимал какова позиция его оппонентов, но он также отлично знал, чувствовал что и в его теории есть Истина...
*чистой воды инвенция*
Яша, я вообще согласен, что он начал нужное дело - т.е. он показывал, что в нашей логике (в его логике на тот момент, как и у нас сейчас) есть дыры, которые показывают ее несовершеноство. А это еще раз говорит о том, что то, что нам сейчас кажется логичным на самом деле может и не являться таковым, т.к. и в современной логике достаточно дыр и пробелов. Интересен тот факт, что логика на самом деле практически и не развилась - лишь значительно увеличился объем знаний, которым эта логика оперирует.
Было бы интересно обсудить именно вопрос - на сколько изменилась логика за последние 4 тысячи лет (например).
Готов к обсуждению.